Operaciones con funciones

Operaciones con Funciones y Composición de Funciones

Si dos funciones f  y  g están definidas para todos los números reales, entonces es posible hacer operaciones numéricas reales como la suma, resta, multiplicación y división (cociente) con f(x) y g(x).

Definición: La suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones f  y  g son las funciones definidas por:

Cada función está en la intersección de los dominios de  f  y  g,  excepto que los valores de  x  donde  g(x) = 0 se deben excluir del dominio de la función cociente.

Ejemplos para discusión:

1)  Sea f(x) = x2  y  g(x) = x - 1.  Halla la suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones f  y  g.  Señala el dominio para cada una de ellas.

(f + g)(x) = x2+x-1                   Df: R
(f – g)(x)= x2 –x + 1                Df: R
(f * g)(x) = x3 – x2                    Df: R
(f/g)(x) = x2/(x-1)                     Df: R excepto x = 1     
                       

2)  Sea:

Halla la suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones.  Indica cuál es el dominio para cada una de ellas.

Ejercicio de práctica: Sea f(x) = 3x  y  g(x) = x + 2. Halla la suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones.  ¿Cuál es el dominio en cada una de ellas?

Composición de Funciones

Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g, una nueva función llamada la "compuesta de f y g". Sean y dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la primera. Aunque solo es suficiente que solo sea una parte de él, es decir (Ver fig. 13.). El propósito es asignar a cada elemento de A un único elemento de C, y el camino natural consiste en determinar la imagen de cualquier xA mediante f, y luego obtener la imagen de f(x)B mediante g

fig. 13.

Definición.
Sean y dos funciones. La composición de las funciones f y g, denotada por (g o f) es la función:
g o f :

Asi por ejemplo si f y g son las funciones definidas por:
y
Entonces

Del ejemplo anterior se deduce fácilmente que en general:
(g o f)(x) ¹ (f o g)(x).
Se debe tener también cuidado con los dominios de g o f y de f o g. El dominio de g o f es la parte del dominio de f, para los cuales g acepta a f(x) como pre-imagen.
Esto es, D(f) =
Ahora, como g, solo acepta reales positivos de f(x), esto es, valores de x para los cuales:
; se concluye entonces que: D(g o f) = [3, + )
Nótese que (g o f) (1) = g(f(1)) = g(-1) NO ESTA DEFINIDO.
Igualmente, (g o f) (2) = g(f(2)) = g(-1/2) NO ESTA DEFINIDO.
También, el dominio f o g es la parte del dominio de g para los cuales f acepta a g(x) como pre-imagen.
Es decir, D(g) = [0, + ).
Ahora, como f acepta cualquier valor real de g(x), entonces f acepta en particular, los valores de g en el intervalo D(g) = [0, + ). De esta forma:
D(f o g) = [0, + ).
En el cálculo, a menudo se necesita escribir una función dada como la composición de dos funciones. Esto puede hacerse de varias maneras.
Asi por ejemplo, la función: puede escribirse en las formas:
P(x) = (g o f)(x) siendo y
P(x) = (g o f)(x) siendo y
En efecto, en el primer caso, y, en el segundo.