lunes, 22 de agosto de 2011

¿El ser bueno en matemáticas es algo innato?

Aceptamos que algunas personas nacen con un talento especial para la música, el arte o el deporte. Pero, ¿ocurre lo mismo con las matemáticas? ¿Algunos de nosotros vienen al mundo con mejores habilidades en esta ciencia?

Parece que sí, por lo menos de acuerdo a los resultados de un estudio que ha realizado un equipo de investigadores de la Universidad Hopkings. Este grupo, dirigido por la estudiante post-doctoral Melissa Libertus, postulan que la capacidad para las matemáticas en niños de edad preescolar está fuertemente ligada a su innato y primitivo “sentido numérico”, conocido como Sistema Numérico Aproximado o ANS en inglés.

La investigación revela que este sentido numérico es básico en todos los animales, no sólo en los seres humanos. Por ejemplo, las criaturas que cazan o recoletan comida utilizan este sentido para determinar dónde pueden encontrar la mayoría de alimentos y para hacer un seguimieno de los alimentos que cazan o recolectan. Nosotros los humanos, utilizamos este sentido numérico a diario y es medible, incluso, en recién nacidos.

Aunque el vínculo entre el Sistema Numérico Aproximado y la capacidad matemática formal ya se ha establecido entre adolescentes, Libertus dice que su equipo es el primero en estudiar el papel de “sentido del número” en niños muy pequeños como para haber recibidos alguna formación en matemáticas.

Tal y como ella expone:
"La relación entre el sentido numérico y la capacidad de las matemáticas es importante e intrigante, porque creemos que el sentido del número es universal, mientras que la habilidad para las matemáticas ha sido pensado para ser altamente de la cultura y la lengua, y toma muchos años en aprenderse. Por lo tanto, un vínculo entre los dos es sorprendente y suscita muchas preguntas y asuntos importantes. Entre ellos uno de los más importantes, que es si podemos inculcar a los niños un sentimiento numérico que con el objetivo de mejorar sus habilidades matemáticas en el futuro".
El equipo analizó un grupo de 200 niños de 4 años de edad de media realizando diferentes tareas. Los investigadores pidieron a los niños que observaran el grupo de destellos de colores azul y amarillo en la pantalla de un ordenador (ver más información abajo en Test Panamath), y que estimaran que grupo de puntos era más numeroso. Mediante este método se descartaba el que pudieran contar los números, ya que los puntos parpadeaban con mucha rapidez.

Libertus y sus colegas Lisa Feigenson y Halberda Justin, miembros del Department of Psychological and Brain Sciences, encontraron que la precisión de las estimaciones de los niños estaba correlacionada con sus habilidades matemáticas. Es decir, aquellos niños que realizaron la mejor estimación de los puntos, también sabían más sobre los números arábigos y aritmética.
Sin embargo, todavía está en el aire la razón fundamental que relaciona el sentido numérico y la capacidad en matemáticas. ¿A los niños que nacen con un mejor sentido de los números les resulta más fácil aprender a contar y el carácter simbólico de los números? ¿O es sólo que los niños que nacen con el sentido numérico menos preciso, terminan abandonando las actividades relacionadas con las matemáticas antes de empezar a desarrollar su competencia?

sábado, 19 de febrero de 2011

Matemáticos crean una "tabla periódica" de las formas

Servirá para cálculos e investigaciones en diversas disciplinas, desde la física teórica a la robótica.

Un equipo de matemáticos del Imperial College London, en colaboración con instituciones de Australia, Japón y Rusia, pretende identificar las formas indivisibles -de tres, cuatro y cinco dimensiones- que son los “ladrillos” básicos de todas las formas más complejas.

La finalidad de este trabajo será crear una tabla de formas similar a la tabla periódica de los elementos de la química.

Herramienta de investigación

En la tabla periódica están catalogados los átomos con los que se forman todas las cosas, y además se explican sus propiedades químicas. La tabla de formas, por su parte, catalogará e incluirá las formas indivisibles y sus propiedades específicas, expresadas en forma de ecuaciones relativamente simples.

Según publica el Imperial College London en un comunicado, a medida que se vayan identificando las formas básicas que contendrá la tabla, los investigadores irán calculando las ecuaciones que describen cada una de estas formas.

Con dichas ecuaciones, esperan aumentar los conocimientos sobre las propiedades geométricas de las formas, y también comprender cómo éstas se relacionan unas con otras.

El director del proyecto, el matemático Alessio Corti, del Departamento de Matemáticas del Imperial College London, explica que la tabla periódica de los elementos es una de las herramientas más importantes de la química.

Los investigadores pretenden hacer algo similar con formas de tres, cuatro y cinco dimensiones que, como los átomos, al unirse entre sí dan lugar a otras formas: crear un directorio que las clasifique, y que incluya sus propiedades.

El resultado contendrá una cantidad ingente de formas, prevén los científicos: una tabla “que no podrá colgarse como un póster en la pared”, pero que sí se convertirá en una herramienta de investigación extremadamente útil.

Dimensiones visibles e invisibles

Uno de los colaboradores de Corti, el especialista en geometría y topología, Tom Coates explica que en este proyecto, además de buscar los “ladrillos básicos”, se intentará comprender cómo las propiedades de las formas mayores dependen de dichos ladrillos y de sus relaciones entre sí.

Según Coates: se puede pensar en las formas indivisibles “como en “átomos” y en las formas subsiguientes (formadas por estos ladrillos) como en “moléculas... Queremos construir una teoría química para las formas”.
Dentro de esta “teoría”, se incluirán formas con dimensiones que no pueden ser “vistas”, en un sentido convencional, en el mundo físico: además de las formas con tres dimensiones (largo, ancho y profundidad) que pueden captarse normalmente, los científicos explorarán formas con más dimensiones.

El espacio tiempo descrito por la Teoría de la Relatividad de Albert Einstein presenta cuatro dimensiones: las tres dimensiones espaciales, más el tiempo. Y la Teoría de Cuerdas sostiene que el universo está formado por dimensiones adicionales que no pueden verse.

Para estudiar estas dimensiones extra en las formas, Coates ha creado un programa de simulación computacional que permitirá identificar con precisión las piezas básicas de estas formas multi-dimensionales, a partir de un conjunto de cientos de millones de formas. Con este programa, los científicos esperan encontrar formas con dimensiones extra, que puedan ser definidas por ecuaciones algebraicas e indivisibles.

Aún no saben el número de formas que encontrarán con estas características, pero calculan que debe haber alrededor de 500 millones de formas que pueden ser definidas algebraicamente en cuatro dimensiones, y anticipan que encontrarán unos cuantos miles de piezas básicas con las que estas formas están a su vez hechas.

Posibles aplicaciones

Según Coates: “La mayoría de la gente está familiarizada con la idea de las formas tridimensionales. Para los que no trabajan en nuestro campo, resulta difícil imaginar formas de cuatro o cinco dimensiones. Sin embargo, comprender este tipo de formas es realmente importante para muchos aspectos de la ciencia”.

Por ejemplo, explica Coates, en robótica se puede necesitar calcular la ecuación de una forma de cinco dimensiones para averiguar cómo enseñar a un robot a mirar un objeto y mover su propio brazo para coger dicho objeto.

Por otro lado, si eres un físico, puedes necesitar un análisis de formas de dimensiones ocultas del universo, con el fin de comprender cómo funcionan las partículas subatómicas.

En definitiva, con este esfuerzo, los científicos pretenden crear una herramienta que sirva de base a matemáticos, físicos y otros científicos para cálculos e investigaciones en diversas áreas, desde la visión artificial o la teoría de números, hasta la física teórica.

El presente proyecto, de tres años de duración, ha sido financiado por el Engineering and Physical Sciences Research Council (EPSRC), la organización Leverhulme Trust, la Royal Society y el European Research Council (ERC).

miércoles, 8 de setiembre de 2010

Anuméricos

Todos conocemos a personas que se vanaglorian y llegan hasta el absurdo de presumir de su analfabetismo matemático, como si eso fuera un prestigio. A estos, según John Allen Paulos, se les llaman los anuméricos.

Haga un experimento sencillo en su trabajo, pregúntele, al azar, a cinco de sus compañeros, ¿Cuánto es ocho por siete? Si tres de ellos no le contestan correctamente no se sorprenda; así son los anuméricos que ni las tablas se aprendieron de memoria en la escuela elemental.
Uno de los criterios con los que se compara el desarrollo social de los países por distintas organizaciones mundiales es su tasa de analfabetismo. Todos veríamos con ojos de asombro que los gobernantes de un país no se preocupan frente a un 30% de analfabetismo; entonces, por qué ante una tasa mayor de anumerismo, ni nos inmutamos (verifiquen los últimos resultados de las Pruebas Puertorriqueñas).

Según el último reporte de competitividad mundial global del World Forum Economic, la calidad de nuestra educación en las ciencias y las matemáticas (piedra angular de la economía del conocimiento) se ubicó en la posición 87 del mundo, lo que, sin duda, es una bofetada en la cara para un país que aspira ser del primer mundo. Si el gobierno, en su Plan Integral de Desarrollo Estratégico Sostenible, pretende, como visión, implantar un modelo de desarrollo socioeconómico sostenible fundamentado en una economía globalmente competitiva, con esa evaluación el país no puede tener expectativas al proponerse estrategia de desarrollo.

Nadie discute que una economía avanzada necesita de una sociedad avanzada, pues cada economía es producto de la sociedad donde está insertada y es una función de la calidad de sus instituciones, principalmente, las educativas.

No perdamos la perspectiva que algunos anuméricos ocupan puestos más prestigiosos en el País y cuando se les consulta sobre los problemas económicos contestan con expresiones imprecisas y de poco rigor estadístico. Pongámoslo como meta: tenemos que erradicar el anumerismo en nuestro País.

lunes, 30 de agosto de 2010

Operaciones con funciones

Operaciones con Funciones y Composición de Funciones

Si dos funciones f  y  g están definidas para todos los números reales, entonces es posible hacer operaciones numéricas reales como la suma, resta, multiplicación y división (cociente) con f(x) y g(x).
Definición: La suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones f  y  g son las funciones definidas por:
Cada función está en la intersección de los dominios de  f  y  g,  excepto que los valores de  x  donde  g(x) = 0 se deben excluir del dominio de la función cociente.
Ejemplos para discusión:
1)  Sea f(x) = x2  y  g(x) = x - 1.  Halla la suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones f  y  g.  Señala el dominio para cada una de ellas.
(f + g)(x) = x2+x-1                   Df: R
(f – g)(x)= x2 –x + 1                Df: R
(f * g)(x) = x3 – x2                    Df: R
(f/g)(x) = x2/(x-1)                     Df: R excepto x = 1     
                       
2)  Sea:
Halla la suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones.  Indica cuál es el dominio para cada una de ellas.
Ejercicio de práctica: Sea f(x) = 3x  y  g(x) = x + 2. Halla la suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones.  ¿Cuál es el dominio en cada una de ellas?

Composición de Funciones
Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g, una nueva función llamada la "compuesta de f y g".
Sean y dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la primera. Aunque solo es suficiente que solo sea una parte de él, es decir (Ver fig. 13.).
El propósito es asignar a cada elemento de A un único elemento de C, y el camino natural consiste en determinar la imagen de cualquier xA mediante f, y luego obtener la imagen de f(x)B mediante g
grafica23 (2624 bytes)
fig. 13.
Definición.
Sean y dos funciones. La composición de las funciones f y g, denotada por (g o f) es la función:
g o f :

Asi por ejemplo si f y g son las funciones definidas por:
y
Entonces

Del ejemplo anterior se deduce fácilmente que en general:
(g o f)(x) ¹ (f o g)(x).
Se debe tener también cuidado con los dominios de g o f y de f o g. El dominio de g o f es la parte del dominio de f, para los cuales g acepta a f(x) como pre-imagen.
Esto es, D(f) =
Ahora, como g, solo acepta reales positivos de f(x), esto es, valores de x para los cuales:
; se concluye entonces que: D(g o f) = [3, + )
Nótese que (g o f) (1) = g(f(1)) = g(-1) NO ESTA DEFINIDO.
Igualmente, (g o f) (2) = g(f(2)) = g(-1/2) NO ESTA DEFINIDO.
También, el dominio f o g es la parte del dominio de g para los cuales f acepta a g(x) como pre-imagen.
Es decir, D(g) = [0, + ).
Ahora, como f acepta cualquier valor real de g(x), entonces f acepta en particular, los valores de g en el intervalo D(g) = [0, + ). De esta forma:
D(f o g) = [0, + ).
En el cálculo, a menudo se necesita escribir una función dada como la composición de dos funciones. Esto puede hacerse de varias maneras.
Asi por ejemplo, la función: puede escribirse en las formas:
P(x) = (g o f)(x) siendo y
P(x) = (g o f)(x) siendo y
En efecto, en el primer caso, y, en el segundo.

viernes, 27 de agosto de 2010

El Concepto de Infinito es 2000 años mas Antiguo de lo que se Pensaba

El primer uso matemático del concepto de real de infinito se ha visto retrasado unos 2000 años. Y la culpa la tiene un nuevo análisis de las páginas de un pergamino en el que un monje medieval de Constantinopla copió la labor del griego Arquímedes.
El concepto de infinito es una de las cuestiones fundamentales en las matemáticas y aún hoy es un enigma. El pergamino reproduce 348 páginas escritas por Arquímedes, siendo esta la copia más antigua de los antiguos genios griegos.
En él, se han encontrando pruebas de que Arquímedes ya dió un “uso sistemático del concepto de infinito en una parte del documento llamado Teoremas del Método de la Mecánica. Para analizarlo, se ha examinado el pergamino con un nivel de detalle extraordinario, gracias al uso de imágenes multiespectrales y también a una técnica que utiliza un haz fino de rayos X desarrollada por la Universidad de Stanford. El escáner puede generar una imagen de un millón de píxeles en menos de una hora.
Esta novedosa lectura revela que Arquímedes se dedicaba a las matemáticas e hizo usos del concepto real de infinito, tales como el número de triángulos dentro de un prisma, o el número de líneas dentro de un rectángulo.