Operaciones con funciones

Operaciones con Funciones y Composición de Funciones

Si dos funciones f  y  g están definidas para todos los números reales, entonces es posible hacer operaciones numéricas reales como la suma, resta, multiplicación y división (cociente) con f(x) y g(x).

Definición: La suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones f  y  g son las funciones definidas por:

Cada función está en la intersección de los dominios de  f  y  g,  excepto que los valores de  x  donde  g(x) = 0 se deben excluir del dominio de la función cociente.

Ejemplos para discusión:

1)  Sea f(x) = x2  y  g(x) = x - 1.  Halla la suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones f  y  g.  Señala el dominio para cada una de ellas.

(f + g)(x) = x2+x-1                   Df: R
(f – g)(x)= x2 –x + 1                Df: R
(f * g)(x) = x3 – x2                    Df: R
(f/g)(x) = x2/(x-1)                     Df: R excepto x = 1     
                       

2)  Sea:

Halla la suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones.  Indica cuál es el dominio para cada una de ellas.

Ejercicio de práctica: Sea f(x) = 3x  y  g(x) = x + 2. Halla la suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones.  ¿Cuál es el dominio en cada una de ellas?

Composición de Funciones

Bajo ciertas condiciones es posible definir a partir de dos funciones f y g, una nueva función llamada la "compuesta de f y g". Sean y dos funciones donde coincide el dominio de la segunda con el codominio de la primera. Aunque solo es suficiente que solo sea una parte de él, es decir (Ver fig. 13.). El propósito es asignar a cada elemento de A un único elemento de C, y el camino natural consiste en determinar la imagen de cualquier xA mediante f, y luego obtener la imagen de f(x)B mediante g

fig. 13.

Definición.
Sean y dos funciones. La composición de las funciones f y g, denotada por (g o f) es la función:
g o f :

Asi por ejemplo si f y g son las funciones definidas por:
y
Entonces

Del ejemplo anterior se deduce fácilmente que en general:
(g o f)(x) ¹ (f o g)(x).
Se debe tener también cuidado con los dominios de g o f y de f o g. El dominio de g o f es la parte del dominio de f, para los cuales g acepta a f(x) como pre-imagen.
Esto es, D(f) =
Ahora, como g, solo acepta reales positivos de f(x), esto es, valores de x para los cuales:
; se concluye entonces que: D(g o f) = [3, + )
Nótese que (g o f) (1) = g(f(1)) = g(-1) NO ESTA DEFINIDO.
Igualmente, (g o f) (2) = g(f(2)) = g(-1/2) NO ESTA DEFINIDO.
También, el dominio f o g es la parte del dominio de g para los cuales f acepta a g(x) como pre-imagen.
Es decir, D(g) = [0, + ).
Ahora, como f acepta cualquier valor real de g(x), entonces f acepta en particular, los valores de g en el intervalo D(g) = [0, + ). De esta forma:
D(f o g) = [0, + ).
En el cálculo, a menudo se necesita escribir una función dada como la composición de dos funciones. Esto puede hacerse de varias maneras.
Asi por ejemplo, la función: puede escribirse en las formas:
P(x) = (g o f)(x) siendo y
P(x) = (g o f)(x) siendo y
En efecto, en el primer caso, y, en el segundo.

El Concepto de Infinito es 2000 años mas Antiguo de lo que se Pensaba

El primer uso matemático del concepto de real de infinito se ha visto retrasado unos 2000 años. Y la culpa la tiene un nuevo análisis de las páginas de un pergamino en el que un monje medieval de Constantinopla copió la labor del griego Arquímedes.
El concepto de infinito es una de las cuestiones fundamentales en las matemáticas y aún hoy es un enigma. El pergamino reproduce 348 páginas escritas por Arquímedes, siendo esta la copia más antigua de los antiguos genios griegos.
En él, se han encontrando pruebas de que Arquímedes ya dió un “uso sistemático del concepto de infinito en una parte del documento llamado Teoremas del Método de la Mecánica. Para analizarlo, se ha examinado el pergamino con un nivel de detalle extraordinario, gracias al uso de imágenes multiespectrales y también a una técnica que utiliza un haz fino de rayos X desarrollada por la Universidad de Stanford. El escáner puede generar una imagen de un millón de píxeles en menos de una hora.
Esta novedosa lectura revela que Arquímedes se dedicaba a las matemáticas e hizo usos del concepto real de infinito, tales como el número de triángulos dentro de un prisma, o el número de líneas dentro de un rectángulo.

Diagramas de Venn

Transformación de Funciones

Oscar de las Matemáticas

Madrid- La velocidad (variable) a la que se desarrolla el desorden y las condiciones para que fluya agua por el terreno son algunos de los temas en los que han trabajado los matemáticos premiados ayer con las medallas Fields, para profesionales de menos de 40 años.
La matemática francesa está de enhorabuena, tras el anuncio ayer de estos premios, los más importantes que la comunidad matemática internacional concede, cada cuatro años. Uno de los cuatro medallistas, Cédric Villani es francés y otro, el vietnamita Ngô Bao Châu, también se ha formado en este país.
El anuncio se ha producido en la inauguración de la reunión más importante de las matemáticas mundiales, el Congreso Internacional de Matemáticos (ICM) , que se celebra cada cuatro años y que los matemáticos viven como una auténtica fiesta.
En esta ocasión, el ICM ha atraído a unos 2,800 matemáticos de todo el mundo, a la ciudad india de Hyderabad. Los premios han sido entregados por la presidenta de India, Pratibha Patil, quien destacó las aportaciones indias a la matemática, como el concepto de cero y el sistema numérico actual -en el que el valor de cada cifra depende de su posición-, y citó un antiguo verso en sánscrito. "Como la cresta del pavo real las matemáticas se elevan entre todas las ciencias".

Premio Gauss
El premio Gauss, otro de los galardones anunciados ayer, ha recaído asimismo en un francés, Yves Meyer. París "puede considerarse ahora el centro de las matemáticas", ha declarado Louis Nirenberg, considerado a sus 95 años uno de los matemáticos vivos más influyentes.
Los otros dos medallistas Fields han sido el ruso Stanislav Smirnov, actualmente en la Universidad de Ginebra (Suiza); y el israelí Elon Lindenstrauss, de la Universidad Hebrea, en Jerusalen -su padre, el también prestigioso matemático Joram Lindenstrauss, le contemplaba desde las butacas.
"La frontera entre las matemáticas puras y aplicadas no existe; las matemáticas siempre se han nutrido de los problemas reales", dijo ayer Yves Meyer, galardonado con el premio Gauss. Todos sus colegas estuvieron de acuerdo.
Un aspecto central de los resultados de Villani, según informa la Unión Matemática Internacional (IMU) es "su profunda interpretación matemática del concepto de entropía", que ha podido ser aplicada a un gran número de problemas de física.
La medida de la entropía de un sistema da idea del desorden que contiene; las leyes de la termodinámica establecen que en cualquier sistema -ya sea las moléculas de un gas, los coches en el tráfico urbano o los juguetes en la habitación de un niño- el desorden tiende a aumentar con el tiempo.
Pero nadie había hallado a qué velocidad aumenta la entropía. Villani "desarrolló las herramientas matemáticas para proporcionar una respuesta rigurosa (...)", explica IMU. De su trabajo se dedujo algo "del todo inesperado: Aunque la entropía siempre aumenta, a veces lo hace más rápido y a veces más lentamente".

Teoría ganadora
El trabajo de Smirnov es muy teórico, pero esta relacionado con cuestiones muy prácticas, por ejemplo, el flujo del agua a través del suelo. Para que fluya debe haber túneles formados por poros. Pero ¿qué tamaño deben tener los túneles? ¿qué probabilidad hay de que en un punto determinado haya un poro? ¿En qué condiciones deja el fluido de atravesar los túneles? "Son problemas de índole muy práctica", señala la organización.
Los demás premiados son autores de desarrollos más teóricos, y es una prueba de lo amplio de las matemáticas el hecho de que a ninguno de los premiados resulta fácil entender el trabajo de los otros. Sin embargo, "lo importante no es tanto entenderlo como saber que es posible, porque las matemáticas no están hechas de islas aisladas, sino que están muy conectadas entre sí y a lo largo de la carrera uno debe viajar por cada área, como campo a través", dijo Meyer.
El último ICM tuvo lugar en 2006 en Madrid y los premiados fueron Andrei Okounkov; Wendelin Werner; Terence Tao; y Grigori Perelman, que no vino a recoger su medalla -un comportamiento sin precedentes en la historia de las Fields-.